本系列为《数据库系统原理与应用（刘先锋等著）》的读书笔记。
一，关系模型的基本概念
关系及基本术语
- 在关系模型中，表格的第一行称为
关系框架，是属性$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\dots$，$A_k$的有限集合。 - 表中的每行称为关系的一个
元组；每列称为属性，它在某个值域上的取值，不同的属性可以在相同的值域上取值。 - 关系中的属性个数称为
元数（Arity），元组个数称为基数。
- 在关系模型中，表格的第一行称为
关键字
超关键字(Super Key)：在关系中能够唯一标识元组的属性集合。候选关键字(Candidate Key)：如果某一属性集合是超关键字，但去掉其中任意属性后就不再是超关键字，这样的属性称为候选关键字。候选关键字的诸属性称为主属性，不包含在任何候选关键字中的属性称为非主属性（非码属性）。
主关键字(Primary Key)：如果关系中存在多个候选关键字，用户可选作元组标识的一个候选关键字为主关键字。合成关键字(Composite Key)：当某个候选关键字包含多个属性时，该候选关键字称为合成关键字。外部关键字(Foreign Key)：如果关系R的某个（些）属性K不是R中的候选关键字，而是另一个关系S的候选关键字，则K称为R的外部关键字。
二，关系模式
在关系数据库中，关系模式是
型，关系是值。【
定义3-1】关系的描述称为关系模式，形式化表示为
$R(U, D, DOM, I, F)$
其中，$R$为关系名，$U$为组成该关系的属性名集合，$D$是$U$中属性的域，$DOM$为属性到域的映像集合，$I$为完整性约束集合，$F$为属性间数据的依赖关系集合。
⚠️关系模式中带有下画线的属性集为主关键字。
三，关系模型的完整性
域完整性约束：主要规定属性值必须取自值域，一个属性能否为空值由其语义决定。实体完整性约束：规定基本关系的所有主属性都不能取空值，而不仅是主属性整体不能取空值。参照完整性约束：要求“不引用不存在的实体”，考虑的是不同关系之间的或同一关系的不同元组之间的制约。形式定义：如果属性集K是关系R的
主关键字，K也是关系S的外关键字，那么在关系S中，K的取值只允许两种可能，要么为空值，要么等于关系R中某个主关键字的值。关系R称为“参照关系”模式，关系S称为“依赖关系”模式。用户自定义完整性约束：针对某个具体关系数据库的约束条件。
四，关系代数
关系查询语言分类
关系代数语言：查询操作是以集合操作为基础运算的DML语言。关系演算语言：查询操作是以谓词演算为基础运算的DML语言。
关系代数的五种基本操作
相等定义：设有同类关系$r_1$和$r_2$，若$r_1$的任何一个元组都是$r_2$的一个元组，则称关系$r_2$包含关系$r1$，记作$r_1$ $\subseteq$ $r_2$或 $r_2$ $\supseteq$ $r_1$，如果$r_1$ $\subseteq$ $r_2$且$r_1$ $\supseteq$ $r_2$，则称关系$r_1$等于关系$r_2$，记作$r_1$=$r_2$。
【定义3-2】并(Union)：设有同类关系$r_1$[R]和$r_2$[R]，两者的并(Union)运算定义 $r_1$ $\bigcup$ $r_2$ = { $t$ $\mid$ $t$ $\in$ $r_1$ $\vee$ $t$ $\in$ $r_2$ }
式中，$\bigcup$为并运算符。$r_1$ $\bigcup$ $r_2$的结果关系是$r_1$的所有元组与$r_2$的所有元组的并集（去掉重复元组）。
【定义3-3】差(Difference)：设有同类关系$r_1$[R]和$r_2$[R]，两者的差(Difference)运算定义为 $r_1$ - $r_2$ = { $t$ $\mid$ $t$ $\in$ $r_1$ $\wedge$ $t$ $\notin$ $r_2$ }
式中，- 为相减运算符。$r_1$ - $r_2$的结果关系是$r_1$的所有元组减去$r_1$与$r_2$相同的元组所剩下的元组的集合。
【定义3-4】笛卡儿积(Difference)：设$r$[R]为$k_1$元关系，$s$[S]为$k_2$元关系，两者的笛卡儿积(Difference)运算定义为 $r$ $\times$ $s$ = { $t$ $\mid$ $t$ = <$u,v$> $\wedge$ $u$ $\in$ $r$ $\wedge$ $v$ $\in$ $s$ }。
【定义3-5】投影(Projection)：是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序的操作。
设有$r$[R]为$k$元关系，其关系框架R={$A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_k$}，$A_{j_1}$，$A_{j_2}$，$\dots$，$A_{j_n}$ 为R中互不相同的属性，那么关系$r$在属性（分量）$A_{j_1}$，$A_{j_2}$，$\dots$，$A_{j_n}$ 上的投影运算定义为 $\Pi$ $A_{j_1}$,$A_{j_2}$,$\dots$,$A_{j_n}$ $($ $r$ $)$ = { $u$ $\mid$ $u$ = < $t$ [$A_{j_1}$],$t$[$A_{j_2}$],$\dots$,$t$[$A_{j_n}$] > $\wedge$ $t$ $\in$ $r$ }
式中，$\Pi$为投影运算符。
【定义3-6】选择(Selection)：根据某些条件对关系进行水平分割，即选取符合条件的元组的操作。条件可用命题公式F表示，由运算对象和运算符组成：
运算对象：常数（用引号括起来）、元组分量（属性名或列的序号）运算符：算术比较运算符（$\lt$,$\le$,$\gt$,$\ge$,=,$\ne$，也称$\theta$符），逻辑运算符（$\vee$,$\wedge$,$\neg$）
关系R关于公式F的选择操作用$\sigma$F$($R$)$表示，其定义为：
$\sigma$F $($ R $)$ $\equiv$ { $t$ $\mid$ $t$ $\in$ R $\wedge$ F($t$)=true}
式中，$\sigma$为选择运算符。$\sigma$F$($R$)$表示从R中挑选满足公式F为真的元组所构成的关系。
- 关系代数的其他操作
【定义3-7】交(Intersection)：设有同类关系$r_1$[R]和$r_2$[R]，两者的交(Intersection)运算定义 $r_1$ $\bigcap$ $r_2$ = { $t$ $\mid$ $t$ $\in$ $r_1$ $\wedge$ $t$ $\in$ $r_2$}
式中，$\bigcap$为交运算符。$r_1r_2$的结果关系是$r_1$与$r_2$的所有相同元组构成的集合，显然，$r_1r_2$ 等于$r_1$ - ($r_1$ - $r_2$ )或者$r_2$ - ($r_2$ - $r_1$ )。
【定义3-8】$\theta$-连接：设$r$[R]、$s$[S]关系框架分别为R = {$A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_n$} 和 {$B_1$,$B_2$,$\dots$,$B_m$}，那么关系$r$和$s$的$\theta$-连接（$\theta$-Join）运算定义为：
$r$ $\Join$ $s$ = { $t$ $\mid$ $t$ = < $u, v$ >$\wedge$ $u$ $\in$ $r$ $\wedge$ $v$ $\in$ $u$[$A_i$]$\theta$ $v$[$B_j$]}
【定义3-9】F-连接 ：设$r$[R]、$s$[S]关系框架分别为R = { $A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_n$ }，{ $B_1$,$B_2$,$\dots$,$B_m$ }，F($A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_n$,$B_1$,$B_2$,$\dots$,$B_m$)为一公式，那么关系$r$和$s$的F-连接（F-Join）运算定义为：
$r$ $\Join$ $s$ = { $t$ $\mid$ $t$ = < $u, v$>$\wedge$ $u$ $\in$ $r$ $\wedge$ $v$ $\in$ $s$ $\wedge$F($u$[$A_1$],$\dots$,$u$[$A_n$]),$u$[$B_1$],$\dots$,$u$[$B_m$]) }
即：$r$ $\Join$ $s$ = $\sigma$F $(r$ $\times$ $s)$
【定义3-10】自然连接： Natural Jion是一种特殊的等值连接，它要求关系R和关系S具有相同的属性组B($b_1$,$b_2$,$b_3$,$\dots$ $\dots$)，这些属性组的取值是相等的，在最后生成的关系中去掉属性重复的列。其计算过程如下：
(1)计算$r$ $\times$ $s$；
(2)设$r$和$s$的公共属性是$A_1$,$A_2$,$\dots$,$A_m$，选出$r$ $\times$ $s$中满足$r.A_1$=$s.A_1$,$r.A_2$=$s.A_2$, $\dots$, $r.A_m$=$s.A_m$的那些元组；
(3)去掉$s.A_1$,$s.A_2$,$\dots$,$s.A_m$这些列。
【定义3-11】除(Division)：给定关系$r$(X,Y)和$s$(Y,Z)，其中，X，Y，Z为属性组，$r$中的Y与$s$中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除(Division)运算得到一个新的关系$p$(X)，$p$是r中满足下列条件的元组在X属性列上的投影，即元组在X上的分量值$x$的像集$Y_x$包含s在Y上投影的集合，记为
$r$ $\div$ $s$ = { $t_r$[X]$\mid$ $t_r$ $\in$ $r$ $\wedge$ $\pi_y$($s$) $\subseteq$ $Y_x$ }
式中，$Y_x$为$x$在$r$中的像集，$x$=$t_r$[X]。
五，关系演算
关系演算是以数理逻辑中的谓词为基础的，按谓词变元的不同，关系演算可以分为元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算：以
元组为变量。
1） 在元组关系演算中，元组关系演算表达式的一般形式为：
$\{t|P(t)\}$
式中，t是元组变量，表示一个元数确定的元组，P是满足一定逻辑条件的公式，公式可以分解为一些原子公式，$\{t|P(t)\}$表示满足公式P的所有元组$t$的集合。
2）在一个演算公式中，未用存在量词$\exists$或全称量词$\forall$符号定义的元组变量，称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。域关系演算：以
属性(域)为变量，简称域演算。
